ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN: TOÁN – LỚP 8
NĂM HỌC 2022 – 2023
(Thời gian làm bài 120 phút)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1: (5 điểm).
Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (4 điểm).
a) Giải phương trình sau:
a) Tìm các cặp số nguyên

thỏa mãn:

Câu 3: (4 điểm).
Cho các số dương

,

,

thỏa mãn

a) Chứng minh rằng
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 4: (6 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường phân giác của góc BAC
cắt cạnh BC tại D. Kẻ đường cao AH ( H ∈ BC ). Từ D kẻ DE, DK lần lượt vuông
góc với AB, AC (E∈ AB , K ∈ AC ).
a) Chứng minh rằng : AH2 = HB.HC
b) Nối BK cắt DE tại M, nối CE cắt DK tại N. Chứng minh rằng: MN // BC
c) Gọi I là giao điểm của BK và CE. Chứng minh rằng ∆ ABK đồng dạng với
∆ KAN và ba điểm A, I, H thẳng hàng.
d) Gọi P là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của BM và AD. Chứng
AP

BF

DE

minh rằng: MP + MF + ME ≥ 9
Câu 5: (1 điểm).
Cho các số nguyên m, n đều không chia hết cho 17 thỏa mãn
minh rằng trong hai số

và

. Chứng

có một và chỉ một số chia hết cho 17.

--------Hết-------HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN: TOÁN – LỚP 8
NĂM HỌC 2022 – 2023
CÂU

Ý

ĐÁP ÁN

Câu 1 a) (2 ĐKXĐ:
(5
điểm)
điểm)

Biểu
điểm
0.25

0.5
0,5
0.5
0,25
3
3
b)
A= ⇔= với
2
2
(2,0
2
2
điểm) => 2x = 3x + 9 ⇔ 2x -3x – 9 = 0
=> (x – 3)(2x + 3) = 0
¿>¿ x – 3 = 0 hoặc 2x + 3 = 0
−3

=> x = 3 hoặc x = 2

Đối chiếu ĐK và kết luận

c) (1
điểm) Để A nguyên thì

Câu 2 a) (2
(4
điểm)
điểm)

0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

thì

nguyên

Hay
Ư(9) =
.
Ta có bảng
x+3 1
-1
3
-3
9
-9
x
-2
-4
0
-6
6
-12
(tm) (tm) (tm) (tm) (tm) (tm)
Vậy tập hợp các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên là
{-2; -4; 0; -6; 6; -12}

0,5

0,25
0,25
0,25
0,25

0.5

0.5
0.5
Mà
b) (2
điểm)

nên

.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

0.5

.

0.5
0.5
=>

x=2023
{x−2022=1
{
x− y +1=1
x=2023
{x−2022=−1
{x=2021
x− y +1=−1
y=2023

Hoặc

0,5

=>

0,5

=>

Ta tìm được các cặp số nguyên (x; y) là: (2023; 2023); (2021; 2023)

Câu 3 a) (2
(4
điểm)
Ta có
điểm)

0,5

=

0,5

=

0,5

=
=

b) (2
điểm) Ta có
Mặt khác lại có

0,5
(đpcm).
0,25

.
nên

0,25
0,25

Do đó ta có:

, dấu bằng xảy ra khi
0,25

Chứng minh tương tự ta có
bằng xảy ra khi
;
và

, dấu
0,25
, dấu bằng xảy ra khi

.

0,25

Từ đó ta có
Theo câu a) ta có

(1).
0,25
(2).

Từ (1) và (2) ta có

.

0,25

Dấu bằng xảy ra khi
Vậy giá trị lớn nhất của A là
Câu 4 0,25đ Vẽ hình đúng đến câu a)
(6
điểm)

.
đạt được khi

.

a)
Ta có ^
BAH =^
ACH (cùng phụ với ^
HAC )
0
^
^
(1,25 AHB= AHC=90
điểm)
∆ AHB ∽∆ CHA ( g . g)

0.25

0,25
0,25
0,25

AH HB
=
CH AH

0,25

0.25
AH2 = HC.HB
0
b)
Xét □AEDK có ^
KAE= ^
AED=^
AKD=90 và AD là tia phân giác của
(1,5
góc A. Nên tứ giác AEDK là hình vuông
0,25
điểm)
AK = KD =DE=AE
EM BE
0,25
=
Vì EM//AK theo Ta Let ta có
AK BA
EN BD
=
Và ND //BE
EC BC
BE BD
=
ED//AC
BA BC
EM EN
EN EM
=
=
Từ đó
mà AK = ED
AK EC
EC ED
EN EM
=
Xét tam giác EDC có
nên theo định lý Talet
EC ED

0,25
0,25
0,25
0,25
MN// DC

hay MN// BC

KN CK
=
AE AC
KD CK
=
AB AC
KN KD
KN AK (vì AE=KA=KD (cmt))
=
=
AE AB
AK AB
KN AK
0
=
Xét ∆ AKB và ∆ KNA có
và ^
KAB= ^
AKN =90
AK AB
∆ AKB ∽ ∆ KNA (c.g.c)
^
KAN = ^
ABK
0
Mà ^
ABK + ^
AKB=90

c)
Vì KN//AE
(1,5
điểm) Và KD//AB

0
^
KAN + ^
AKB=90

0,25
0,25
0.25
0,25

MI AN

CMTT trên ta có NI AM
I là trực tâm của ∆ ANM
AI MN mà MN//BC AI BC
Lại có AH BC nên A, I, H thẳng hàng
d)
Gọi diện tích của tam giác ADB là S
(1,5
Gọi diện tích của tam giác ADM là S1
điểm) Gọi diện tích của tam giác AMB là S2
Gọi diện tích của tam giác MDB là S3
Ta có S = S1 + S2 + S3
Kẻ MM' BC tại M'

0,25

MM'// AH

0,25

0,25
MM ' MP
=
AH
PA

0,25

S 3 MM ' MP
=
=
S
AH
AP
S 1 MF
S ME
Tương tự =
và 2 =
S BF
S DE
S 3 S 1 S 2 MP MF ME =1
+ + =
+
+
S S S AP BF DE
1 1 1
Ta lại có (a +b+c)( + + )≥ 9 với a,b,c là các số dương
a b c

0,25
0,25
0,25
0,25

HS chứng minh được BĐT
Áp dụng BĐT trên ta có

MP MF ME AP BF DE
+
+
)(
+
+
)≥ 9
AP BF DE MP MF ME
MP MF ME
AP BF DE
+
+
+
+
Mà
=1
)≥ 9 (đpcm)
AP BF DE
MP MF ME

(

Câu 5
(1
điểm)

Trước tiên ta chứng minh ít nhất một trong hai số
có ít nhất một số chia hết cho 17.

và

Thật vậy xét tích
(do
và
) mà 17 là số nguyên tố nên ít nhất một
trong hai số
và
phải có một số chia hết cho 17.
Bây giờ ta chứng minh chỉ có duy nhất một số trong chúng chia hết
cho 17.
Thật vậy, giả sử phản chứng là cả hai số đó đều chia hết cho 17, suy

0.5

ra
Do

hay
hay

mà

nên
mà

nên
mà
nên
mà 17 là số nguyên tố nên có
ít nhất một số m hoặc n chia hết cho 17, mâu thuẫn giả thiết.
Kết luận

.
0.5

*Các chú ý khi chấm:
1)Học sinh làm đúng đến đâu thì cho điểm đến đó theo số điểm tương ứng.
2) Học sinh lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa.
3) Nếu học sinh có cách giải đúng khác với hướng dẫn chấm thì giáo viên chấm và cho điểm
theo số điểm quy định dành cho câu (hay ý) đó.
4) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 điểm và không làm tròn điểm bài thi.