CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A, LÝ THUYẾT
1, Số nguyên tố:
Tìm các ước của 2; 3; 4; 5; 6
Các số 2; 3; 5 chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên gọi là số nguyên tố, còn 4 và 6 có nhiều hơn hai ước nên gọi
là hợp số
Đ/N: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước
Chú ý: Số 0, 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhât, các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ
Các số nguyên tố < 20 là 2; 3; 5;7; 11; 13; 17; 19
B, LUYỆN TẬP
DẠNG 1: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 3.4.5+6.7
b, 5.7.9.11-2.3.4.7
HD:
a,

Ta có:

c, 3.5.7+11.13.17

d, 16354+67541

, Vậy tổng trên là hợp số

b,
Ta có:
, Vậy tổng trên là hợp số
c,
Ta có :
có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
Bài 2: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.6.7+8.9
b, 5.7.9.11.13-2.3.7
c, 5.7.11+13.17.19
d, 4253+1422
HD :
a,

Ta có :

, Vậy tổng trên là hợp số

b,
Ta có :
, Vậy tổng trên là hợp số
c,
Ta có :
là 1 số lẻ, và
cũng là 1 số lẻ, Nên tổng là số chẵn 2=> Là hợp số
d,
Ta có :
có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
Bài 3: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 17.18.19.31+11.13.15.23
b, 41.43.45.47+19.23.29.31
c, 987654+54321
HD :
a,
Ta có:
, là hợp số
b,
Ta có:
là số lẻ,
là số lẻ, nên tổng là số chẵn nên là hợp số
c,
Ta có :
có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, là hợp số
Bài 4: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.31.19.101+62.131.1989.17
b, 23.161.121.19-13.157.22.17
c, 123456789+729
Bài 5: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.7.8.9.11-132
b, 4.5.6+9.13
c, 7.11.13-5.6.7
d, 17.19.23+23.25.27
Bài 6: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 11.13.17-121
b, 15+3.40+8.9
c, 5.7.9-2.5.6
d, 90.17-34.40+12.51
Bài 7: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 2010+4149
b,
c, 7.8.9.10-2.3.4.5
HD :
d, Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3
Bài 8: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3…. n + 1
HD :
Xét
là số nguyên tố
[Type text]

Page 1

d,

Xét

là hợp số. Vậy không kết luận được

Bài 9: Cho a=2.3.4.5….2008. Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có đều là hợp số không
a+2, a+3, a+4, ….. , a+2008
HD:
Ta có: 2007 số trên đều là hợp số vì chúng lần lượt chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008, Và lớn hơn 2
Bài 10: Thay chữ số d vào số
HD:

để được 1 hợp số

Vì
Nếu

=> là hợp số

Nếu

=> là hợp số

Nếu

=> là hợp số

Nếu

là số nguyên tố

Bài 11: Thay chữ số vào * để
HD:

là số nguyên tố

Vì
Nếu

là hợp số

Nếu

là hợp số

Nếu

là số nguyên tố

Bài 12: Thay chữ số vào * để
Bài 13: Thay a vào

là số nguyên tố

để được 1 số nguyên tố

Bài 14: Thay chữ số vào 8 để

là hợp số

Bài 15: Thay chữ số vào * để
là số nguyên tố
Bài 16: Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố, 7.k là số nguyên tố
HD:
Vì 3.k chia hết cho 3, nên để là số nguyên tố thì 3k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó, Vậy k=1
Vì 7.k chia hết cho 7, nên để là số nguyên tố thì 7k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó, Vậy k=7
Bài 17: Thay dấu * bằng chữ số thích hợp để mỗi số sau là số nguyên tố:
Bài 18: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số:
a,
HD:

( 2010 số 1)

b,

( 2009 số 3)

a,

Số

(2010 số 1) => là hợp số

b,

Số

=> Là hợp số

c,

Số

c, n(n+1),n > 0

d, 3.5.7.9-28

c,

d, 1112111

có 2 TH :

Nếu

là số nguyên tố

Nếu

là hợp số vì n và n+1

d,
Số
=> là hợp số
Bài 19: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số:
a, 3.
HD:
[Type text]

b, 111…1 (2001 chữ số 1)

Page 2

a,

Với

b,

Với
Số

c,

Với

là số nguyên tố
là hợp số
( 2001 chữ số 1) có tổng các chữ số là 2001 3=> là hợp số
là số nguyên tố

Với

là hợp số

d,
Số
là hợp số
Bài 20: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số:
a, 111…1(2000 số 1)
b, 1010101
c, 311141111
HD:
a,
Số
(2000 số 1) chia hết cho 11 nên là hợp số
b,
Số
c,
Số
Bài 21: Tìm tất cả các số tự nhiên n để

nên là hợp số
chia hết cho 31111 nên là hợp số

a,
HD :

b,

là số nguyên tố
a,

Ta có :
Để

b,

là số nguyên tố

, Vì

có thêm 2 ước là n và n+2

là số nguyên tố thì

Nếu

(thỏa mãn)

là số nguyê tố

Nếu
là hợp số
Bài 22: Tìm số nguyên tố p sao cho:
a, p+2, p+4 cũng là số nguyên tố
HD :
a, Giả sử với
Với

b, p+10, p+14 là số nguyên tố

là số nguyên tố =>

là hợp số

là số nguyên tố

đều là số nguyên tố=>

Với
Nếu

giả sử là số nguyên tố

là hợp số =>

Nếu
giả sử là số nguyên tố =>
Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
b, Giả sử với
Với

là hợp số=>

là số nguyên tố

là hợp số

là số nguyên tố

đều là số nguyê tố

Với
Nếu

giả sử là số nguyên tố

là hợp số

Nếu
giả sử là số nguyên tố
Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 23: Tìm số nguyên tố p sao cho:
a, p+2, p+6, p+8, p+14 cũng là số nguyên tố
HD :
a, Giả sử với

là hợp số
b, p+6, p+8, p+12, p+14 cũng là số nguyên tố

là số nguyên tố =>

Với

là số nguyên tố

Với

là số nguyên tố =>

là hợp số=>
là hợp số=>
đều là số nguyên tố

Với
[Type text]

Page 3

Nếu

giả sử là số nguyên tố

Nếu

giả sử là số nguyên tố

Nếu

giả sử là số nguyên tố

là hợp số

Nếu
giả sử là số nguyên tố
Vậy p=5 là số nguyên tố cần tìm
Bài 24: Tìm số nguyên tố p sao cho:
a, p+4, p+8 cũng là số nguyên tố
HD :

là hợp số

b, Giả sử với
Với

là số nguyên tố =>

là số nguyên tố

là hợp số
là hợp số

b, p+94, p+1994 cũng là số nguyên tố
là hợp số
đều là số nguyên tố=>

Với
Nếu

giả sử là số nguyên tố

là hợp số =>

Nếu
giả sử là số nguyên tố =>
là hợp số=>
Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 25: Tìm số nguyên tố p sao cho:
a, p+18, p+24, p+26, p+32 cũng là số nguyên tố
b, p+2, p+10 cũng là số nguyên tố
Bài 26: Tìm số nguyên tố p sao cho: p+2, p+8, p+16 đều là số nguyên tố
Bài 27: Tìm số nguyên tố p sao cho:
a, 2p-1, 4p-1 cũng là số nguyên tố
b, 2p+1, 4p+1 cũng là số nguyên tố
HD:
a,

Giả sử với
Với

là số nguyên tố =>
là số nguyên tố

là số nguyên tố
đều là số nguyên tố=>

Với
Nếu

giả sử là số nguyên tố

là hợp số

=>
Nếu

giả sử là số nguyên tố =>

là hợp số

=>
Vậy p = 3 và p = 2 là số nguyên tố cần tìm
b,

Giả sử với
Với

là số nguyên tố =>
là số nguyên tố

là hợp số
đều là số nguyên tố=>

Với
Nếu

giả sử là số nguyên tố

là hợp số

giả sử là số nguyên tố =>

là hợp số

=>
Nếu

=>
Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 28: Tìm tất cả các số tự nhiên n để n+1, n+3, n+7, n+9, n+13, n+15 đều là số nguyên tố
Bài 29: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7p+q và pq+11 cũng là số nguyên tố
HD :
Nếu
[Type text]

là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ vì nó là số nguyên tố lớn hơn 2
Page 4

Suy ra

là số chẵn, khi đó ít nhất 1 trong 2 số p hoặc q bằng 2

Giả sử :

là số nguyên tố

Nếu
Nếu

và

Nếu
Với

là hợp số

Với

là hợp số

Vậy
Xét tiếp TH giả sử
thì ta được
2. Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số

Bài 30: Tìm số nguyên tố k để 5k là số nguyên tố
HD :
Thấy 5k luôn có 2 ước là 1 và chính nó
Nên
là hợp số
Để
là số nguyên tố thi k=1
Bài 31: Tìm số nguyên tố p sao cho 5p+7 là số nguyên tố
HD :
Nhận thấy
Ngoài

là số nguyê tố, và

cũng là số nguyên tố

thì p chỉ có thể là

Nếu
là hợp số, nên
Vậy p=2 là số nguyên tố cần tìm
Bài 32: Tìm số tự nhiên k để 11k cũng là số nguyên tố
Bài 33: Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n (n>1) luôn tìm được n số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
HD :
Chọn số tự nhiên
Khi đó ta có n số tự nhiên liên tiếp là

đều là hợp số

Vì n số trên lần lượt chia hết cho
Bài 34: Tìm 2002 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
HD :
Chọn
Khi đó ta có 2002 số tự nhiên liên tiếp là

đều là hợp số

Vì 2002 số trên lần lượt chia hết cho
Bài 35: Tìm các số nguyên tố a sao cho 6a+13 là số nguyên tố và
HD :
Ta có : Từ 25 đến 45 có 5 số nguyên tố là : 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43
Nên ta có bảng sau :
6a+13
29 31 37 41 43
a
3
4
5
Mà a là số nguyên tố nên a = 4 (loại)
Bài 36: Tìm các số nguyên tố a để 2a+7 là các số nguyên tố <20
Bài 37: Tìm 1 số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố
[Type text]

Page 5

HD :

Gọi số nguyên tố cần tìm là p, Nhận thấy p>2
Vì p vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố nên trong đó phải có 1 số nguyên tố chẵn,
Như vậy số chẵn là 2,Khi đó ta có :
( với a, b là các số nguyên tố)
là 2 số lẻ liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3, vậy phải có 1 số bằng 3
Nếu
Nếu

Nếu
Vậy số nguyên tố cần tìm là 5
Bài 38: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4p+11 là số nguyên tố <30
Bài 39: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố
Bài 40: Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
Bài 41: Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c = 3(a +b+c)
Bài 42: Tìm số nguyên tố p sao cho
HD:
Đặt A=

có đúng 6 ước dương
, Để A có 6 ước thì 6=2.3=>

Với
Nếu A chứa 1 thừa số nguyên tố thì x+1=6=>x=5, Chọn thừa số nguyên tố bé nhất là 2 thì
Nếu A chứa hai thừa số nguyên tố thì: x=2, y=1 hoặc ngược lại, để A nhỏ nhất ta chọn thừa số nguyên
tố bé có số mũ lớn và thừa số lớn có số mũ bé là
32 thỏa mãn: =>

ước: Đối chiếu đề bài ta thấy A>27 thì

và 3 là số nguyên tố.

Bài 43: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn số sau lớn hơn số trước là k đơn vị. CMR:
HD:
Gọi 3 số nguyên tố thỏa mãn là: p, p+k và p+2k
=> k là số chẵn=> k chia hết cho 2, Giả sử k không chia hết cho 3 khi đó
TH1:
Với p chia 3 dư 1 thì: p=3n+1=> p+2k=3n+1+6m+2 chia hết cho 3 ( loại)
Với p chia 3 dư 2 thì: p=3n+2=> p+k = 3n+2+3m+1 chia hết cho 3(loại)
TH2: k=3m+2
Với p chia 3 dư 1 thì: p=3n+1=>p+k=3n+1+3m+2 chia hết cho 3 (loại)
Với p chia 3 dư 2 thì: p=3n+2=> p+2k=3n+2+6m+4 chia hết cho 3(loại)
nên k phải chia hết cho 3 nên k chia hết cho 3=> k chia hết cho 6
Bài 44: Tìm số nguyên tố p sao cho

cũng là số nguyên tố

Bài 45: Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn:
HD:
Từ gt=>

, nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3, lúc đó y=2 nguyên tố

Nếu x không chia hết cho 3 thì

chia hết cho 3 khi đó

chia hết cho 3, mà (2;3) =1

Nên y chia hết cho 3, => y=3 vậy
không thỏa mãn,
Bài 46: Tìm số n nhỏ nhất để: n + 1; n + 3; n + 7 đều là nguyên tố.
Bài 47: Tìm hai số nguyên tố p và q biết rằng p > q sao cho p + q và p – q đều là các số nguyên tố.
Bài 48: Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn:

là số nguyên tố.

Bài 49: Tìm ba số nguyên tố x, y, z thỏa mãn:

[Type text]

Page 6

[Type text]

Page 7

DẠNG 2: CHỨNG MINH LÀ HỢP SỐ
Bài 1: Cho p và 8p-1 là số nguyên tố, chứng minh rằng 8p+1 là hợp số
HD:
Nhẩm thấy

là số cần tìm

Đặt
Nếu

là số nguyên tố nên

là các số nguyên tố,

Thỏa mãn điều kiện đầu bài, Khi đó
Nếu

là hợp số (đpcm)

giả sử là số nguyên tố

và

giả sử cũng là số nguyên tố, khi đó:
là hợp số(đpcm)

Nếu
là hợp số nên
Bài 2: Chứng minh rằng: nếu p là số nguyên tố >3 và 2p+1 là số nguyên tố thì 4p+1 là hợp số
HD:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
Nếu

là số nguyên tố

Nếu

là số nguyên tố

giả sử cũng là số nguyên tố,

Khi đó :
là hợp số, (đpcm)
Bài 3: Cho p là số nguyên tố >3, biết p+2 cũng là số nguyên tố, cmr p+1 chia hết cho 6
HD :
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên
Nếu

giả sử là số nguyên tố

Nếu

giả sử là số nguyên tố

Khi đó :
Mà nguyên tố nên

là số lẻ

giả sử cũng là số nguyên tố,
là số lẻ =>3k là số lẻ=> k là số lẻ=> k+1 là số chẵn

(đpcm)
Bài 4: Cho p và p+4 là số nguyên tố lớn hơn 3, cmr p+8 là hợp số
HD :
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p có dạng
Nếu
Nếu

là hợp số (loại)
giả sử là số nguyên tố

giả sử cũng là số nguyên tố,

Khi đó :
là hợp số (đpcm)
Bài 5: Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p2 +1 là 2 số nguyên tố thì 8p2 -1 là hợp số
HD :
Vì
Khi đó ta có :

là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3

Mà
, Vậy
hay là hợp số
Bài 6: Chứng minh rằng nếu p và p+2 là hai số nguyên tố >3 thì tổng của chúng chia hết cho 12
HD :
Đặt
Và
[Type text]

Page 8

Xét 3 số liên tiếp
phải có 1 số chia hết cho 3
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p không chia hết cho 3,
Mặt khác

vì nếu chia hết cho 3 thì

Lại có p là số nguyên tố >3 nên p lẻ

sẽ chia hết cho 3, như vậy
là số chẵn 2

Vậy
Bài 7: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố >3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24
HD :
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
Với p không chia hết cho 2

là hai số chẵn liên tiếp

Mặt khác p không chia hết cho 3 nên
Nếu
Nếu
Bài 8: Cho p và 10p+1 là các số nguyên tố >3, cmr 5p+1 là hợp số
HD:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
Với

giả sử là số nguyên tố,

Khi đó:

giả sử cũng là số nguyên tố

là hợp số (đpcm)

Với
giải sử là số nguyên tố
(loại)
Bài 9: Cho p và p+8 là các số nguyên tố (p>3) cmr p+4 là hợp số
Bài 10: Cho p và 4p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 2p+1 là hợp số
Bài 11: Cho p và 5p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 10p+1 là hợp số
Bài 12: Cho p và 8p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 4p+1 là hợp số
Bài 13: Cho p và p+10 là các số nguyên tố, cmr p+32 là hợp số
Bài 15: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay số lẻ
HD:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, có 1 số nguyên tố chẵn là số 2
Còn lại 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ => tổng của 24 số lẻ cho ta 1 số chẵn
Vậy xét tổng của 25 số nguyên tố đó cho ta được 1 số chẵn
Bài 16: Tổng của ba số nguyên tố là 1012, Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó
HD:
Tổng của 3 số nguyên tố là 1012 là 1 số chẵn, nên bắt buộc phải có 1 số chẵn,
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất cũng là nhỏ nhất là số 2
Bài 17: CMR mọi số nguyên tố >2 đều có dạng 4n+1 hoặc 4n-1
HD:
Mọi số nguyên tố p lớn hơn 2 đều có dạng
TH1: Nếu k chẵn
TH2: Nếu k lẻ
Bài 18: CMR p là số nguyên tố >3 thì p có dạng 6k+1 hoặc 6k+5
HD:

,

Mọi số tự nhiên p lớn hơn 3 đều có dạng
Vì nếu n lẻ thì p là số chẵn như vậy p không là số nguyên tố
Nên n phải chẵn

, Xét 2 TH:

TH1:
TH2:
Bài 19: CMR nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p+1 cũng là số nguyên tố thì 7p+1 là bội số của 6
[Type text]

Page 9

HD:

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
Khi đó

là 1 số chẵn nên chia hết cho 2

Mặt khác vì

không chia hết cho 3 nên p có dạng

Với

giả sử là số nguyên tố,

Với

nên
giả sử là số nguyên tố, Khi đó:

Như vậy
Bài 20: Cho p là số nguyênt ố lớn hơn 3, CMR:

là hợp số

Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì
chính phương
HD:
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên

và

không thể là các số

và p không thể chia hết cho 4

(1)

- Giả sử p+1 là số chính phương, Đặt
Vì p chẵn nên

lẻ

lẻ =>m lẻ

Đặt
, Ta có:
Mẫu thuẫn với (1)
=>p+1 không thể là số chính phương
- Giả sử

là 3

Vậy nếu p là tích của
Bài 22 : Cho
HD :

có dạng 3k+2

không là số chính phương

số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không là số chính phương
, Hỏi trong các số

Ta có :

số nào là số chính phương?

, có
không là số chính phương

Với
chẵn=>
lẻ nên B
nhưng
Và 2B chẵn nên 2B không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3, vậy 2B không là số chính phương
Với
là số lẻ, nên
và
dư 1=> 2B +1 không là số chính phương
Bài 23 : Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau
HD :
Gọi số chính phương phải tìm là :
Ta có :

(1)

Nhân xét thấy :
Mà
Thay vào (1) ta được :
là số chính phương
Bằng phép thử a từ 1 đến 9 ta thấy có a = 7 là thỏa mãn => b=4
Vậy số cần tìm là 7744
Bài 24 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn :
cũng là số nguyên tố, CMR :
HD :
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, nên 10p cũng không chia hết cho 3 (1)
Lại có
Ta có :

[Type text]

là số nguyên tố.

(2)
là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3

Page 10

Lại có p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ=>

[Type text]

Page 11

là số chẵn nên chia hết cho 2, khi đó

DẠNG 3: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Chứng minh các số sau là hợp số
a,
HD:

b,

c,

a, Ta có:

là 1 số chẵn nên là hợp số

b,
c, Ta có :

d,

là số chẵn nên là hợp số
là 1 số chẵn nên là hợp số

d, Tương tự
là 1 số chẵn nên là hợp số
Bài 2: Chứng minh các số sau là hợp số
a,
HD:

b,
b, Ta có :

c,

d,

có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên là hợp số

c, Ta có :

là số chẵn nên là hợp số

d,
là số chẵn nên là hợp số
Bài 3: Chứng minh các số sau là hợp số
a,
HD:

b,

c,

d,

a,
b, Ta có:

là số chẵn nên là hợp số

c, Ta có :

nên
, khi đó

là hợp số

Bài 4: Chứng minh các số sau là hợp số:
Bài 5: Chứng minh các số sau là hợp số:
a,
HD:

b,

c,

a, Ta có:
Vì 1001 chia hết cho 7 nên

là hợp số

b, Tách tương tự, nhưng vì
nên là hợp số
c, Tách tương tự, nhưng vì 1001 13 nên là hợp số
Bài 6: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là r là hợp số, tìm r
Bài 7: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r, Tìm r biết r không là số nguyên tố
Bài 8: Cho C=222...22000...00777...77( 2011 số 2, 2011 số 0 và 2011 số 7). Vậy C là nguyên tố hay hợp số?
HD:
Tổng các chữ số của C là 2011(2+7)=2011.9 chia hết cho 9 nên C là hợp số
Bài 9: CMR: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau.
Bài 10: Có hay không số nguyên tố mà khi chia cho 12 được dư 9
Bài 11: CMR : Trong ba số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia
hết cho 12
Bài 12: Một số nguyên tố p khi chia cho 42 có số dư là 1 hợp số r, tìm r
Bài 13: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn :
HD:
Ta có :
[Type text]

Page 12

, CMR : a+b+c+d là hợp số

=>
Do đó

Mà
Vậy a+b+c+d

nên a+b+c+d là hợp số

Bài 14 : Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn : ab=cd. Chứng minh rằng :
hợp số với mọi số tự nhiên n

[Type text]

Page 13

là 1

CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Định nghĩa: Số chính phương là bình phương của 1 số tự nhiên
Như vậy: A là số chính phương thì A có dạng
VD: 0;1;4;9;16;25;…
Tính chất:
- Số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0,1,4,5,6,9
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa thừa số với mũ chẵn.
Hệ quả:
+ Tích các số chính phương là 1 số chính phương
+ Số chính phương 2 thì 4
+ Số chính phương 3 thì 9
+ Số chính phương 5 thì 25
+ Số chính phương 8 thì 16
+ Số lượng các ước lẻ là số chính phương và ngược lại
+ Số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
DẠNG 1: CHỨNG MINH LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Các tổng sau có phải là số chính phương không?
a/
e/
HD:

b/

c/

d/

a, Tổng A Chi hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương
b, Tổng B có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương
c, Ta có:

có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương

d, Ta có:

chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương

e, Ta có:
có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên
không là số chính phương.
Bài 2: Cho
HD:

, chứng minh rằng A+4 không là số chính phương?

Tính tổng A ta được:

không là số chính phương vì có mũ lẻ

Bài 3: Cho
HD:

, chứng minh rằng 2B+3 không là số chính phương?

Tính tổng B ta được:
không là số chính phuownh vì mũ lẻ
Bài 4: Viết liên tiếp từ 1 đên 12 ta được 1 số A=1234…1112 hỏi số A có thể có 81 ước không?
HD:
Giả sử A là số chính phương, ta có tổng các chữ số của A là:
nhưng 9 nên không là số chính phương
Khi đó A không thể có 81 ước
Hoặc chỉ ra A có chữ số tận cùng là 2, nên A không là số chính phương
Bài 5: Tìm số nguyên tố
HD:

để

là số chính phương (a>b>0)

Phân tích ta có:
Để là số chính phương thì a-b là số chính phương
Mà
TH1: Với
[Type text]

Page 14

Thấy có 43 là số nguyên tố
TH2: Với
Có 73 là số nguyên tố
Vậy số

bằng 43 hoặc 73

Bài 6: Tìm số có dạng
sao cho
là số chính phương
Bài 7: Số 101112…20 có là số chính phương không?
HD:
Số trên có 3 chữ số tận cùng là 0 nên không là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng
không phải là số chính phương
HD:
Tổng trên có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương
Bài 9: Chứng minh rằng số 1234567890 không là số chính phương?
HD:
Số trên chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương
Bài 10: Chứng minh rằng nếu 1 số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không là số chính phương?
HD:
Số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
Bài 11: Chứng minh rằng 1 số có tổng các chữ số của nó là 2006 không phải là 1 số chính phương
HD:
Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Số trên có tổng các chữ số là 2006 nên chia 3 dư 2, vậy không phải là số chính phương
Bài 12: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không là số chính phương?
HD:
Ta có:
Phân tích A ta thấy A không là số chính phương
Bài 13: Chứng minh rằng
HD:

không là số chính phương?

Ta có:
dư 3, =>
=> n không là số chính phương
Bài 14: Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau
HD:
Gọi số chính phương cần tìm là:
Ta có:

(1)

Thấy

Thay vào (1) ta được:

là số chính phương
Thử a=1, 2, 3, …., 9 thấy a=7 thỏa mãn=> b=4
Bài 15: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương
a,
HD:

b,

b, Tính tổng B ta được:
Vậy tổng trên là số chính phương
Bài 16: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương
HD:
Ta có:
,
Tìm các số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được: 25; 49;81; 121; 169
[Type text]

Page 15

ứng với n=12, 24, 40, 60, 84
Khi đó 3n+1=37, 73, 121, 181, 253, Thấy chỉ có 121 là số chính phương, vậy n=40
Bài 17: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số để 3n+1 và 4n+1 đều là các số chính phương
Bài 18: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nhân nó với 135 thì ta được 1 số là số chính phương
HD:
Gọi số phải tìm là n, ta có:
Hay
là số chính phương=> n=3.5.k2
Với k=1=>n=15
Vơi k=2=>n=60
Với k 3=>n 135 (loại)
Vậy số cần tìm là 15 hoặc 60
Bài 19: Các số sau là số chính phương không?
a,
HD:

b,

c,

d,

a, Ta có:

e,

( Vô lý)

b, Ta có:

( Vô lý)

c, Ta có:

=>

d, Ta có:

( Vô lý)

, Số 2001 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

e,
mà
nên A không thể là số chính phương
Bài 20: Cho 4 số 3,6,8,8 tìm số chính phương được lập từ 4 số trên
HD:
Gọi

là số chính phương phải tìm. Vì số chính phương không có tận cùng là 3; 8 nên

có tận cùng là 6=>
tận cùng là 36 hoặc 86
Nếu tận cùng là 86 thì nó 2 nhưng 4 nên phải có tạn cùng là 36
Vậy số cần tìm là 8836
Bài 21: Cho 4 số 0,2,3,4 Tìm số chính phương có 4 chữ số từ 4 số trên
HD:
Gọi

là số chính phương phải tìm=>

Nếu n có tận cùng là 0 thì
n có tận cùng là 4 thì

có tận cùng là 0 hoặc 4

có tận cùng là 00=> loại

có tận cùng là 04, 24, 34

Do
là số chính phương nên nếu 2 thì 4=> tận cùng là 04 hoặc 24
Xét các số: 2304; 3204; 3024 chỉ có 2304 là số chính phương
Bài 22: Cho 4 số 0,2,3,5 Tìm số chính phương có 4 chữ số từ 4 số trên
HD:
Gọi

là số chính phương phải tìm=>

Nếu n có tận cùng là 0=>

có tận cùng là 0 hoặc 5

tận cùng là 00 ( loại)

Nếu n có tận cùng là 5=>
có tận cùng là 25
Ta có số cần tìm là 3025
Bài 23: Cho 4 số 0,2,4,7 Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 só trên
HD:
Gọi

là số chính phương cần tìm=>

Nếu n có tận cùng là 0 thì
[Type text]

có tận cùng là 0 hoặc 4

có tận cùng là 00 (loại)
Page 16

Nếu n có tận cùng là 4 thì
có tận cùng là 04; 24; 74
Do n là số chính phương nên nếu chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4
=>
có tận cùng là 04 hoặc 24
Khi đó ta có các số: 2704; 7204; 7024, trong các số trên chỉ có số 2704 là số chính phương.
Bài 24: Tổng các chữ số của 1 số chính phương có thể là 1983 không?
HD:
Tổng các chứ số của 1 số là 1983 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9,
nên số chính phương không có tổng là 1983
Bài 25: Cho
, hỏi A có là số chính phương không?
HD:
Nhận thấy A chia hết cho 5 nhưng A lại không chia hết cho 25 nên A không là số chính phương
Bài 26: Chứng minh rằng tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương?
HD:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a+2, a+3
Xét tổng ta có: S= 4a+6, thấy tổng chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính
phương
Bài 27: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được 1 số chính phương?
HD:
Gọi số cần tìm là n, ta có:
Hay
Khi đó với k=1=> n=5( loại)
K=2=>n=20 ( nhận)
K=3=>n=45( nhận)
K=4=>n=80 ( nhận)
K=5=>n=125 ( loại)
Bài 28: Tìm a sao cho số
Bài 29: Tìm số

, biết:

là số chính phương
là số chính phương

Bài 30: Tìm a,b sao cho
là bình phương của 1 số tự nhiên
Bài 31: Cho
a, Tính S
b, Chứng tổ S là 1 số chính phương
c, Tìm các ước nguyên tố khác nhau của S
Bài 32: Cho A=1-2+3-4+...+19-20
a, A có chia hết cho 2;3;5 không?
b, Tìm tất cả các ước của A
Bài 33: CMR: tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính phương
HD:
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n-2,n-1,n, n+1, n+2, trong đó n là số tự nhiên và
Xét tổng bình phương:

, Vì

không thể có

tận cùng là 3 hoặc 8, nên
không thể chia hết cho 5 hay A không là số chính phương
Bài 34: Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n+4 và 2n đều là các số chính phương
HD:
Vì n là số có hai chữ số nên 918<2n<200
Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị 36, 64, 100, 144, 196
Với 2n=36=>n=18=>n+4=22 không là số chính phương
Với 2n=64=>n=32=>n+4=36 là số chính phương
Với 2n=100=>n=50=>n+4=54 không là số chính phương
Với 2n=144=>n=72=>n+4=76( loại)
Với 2n=196=>n=98=[Type text]

Page 17

Bài 35: CMR: với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho 4+ab là số chính phương
Bài 36: CMR:
là số chính phương khi có n-2 số 9 và n số 0
HD:

là số chính phương
Bài 37: Cho
phương.

;

và

. Chứng minh rằng

Bài 38: Tìm hai số nguyên dương x, y (
phương.
Bài 39: Cho
HD:

) thỏa mãn hai số

là số chính
và

đều là số chính

, CMR: S không phải là số chính phương

Ta có:
Vì
nên
Vậy S không thể là số chính phương
Bài 40: Chứng minh rằng: Nếu

, Mặt khác:

và

đều là số chính phương thì n chia heetscho 40

Bài 41: Với a, b là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn:
CMR: a-b và
là các số chính phương

[Type text]

Page 18